Cavalieri all'opera - prisma e sfera

Vediamo il principio di Cavalieri applicato a due casi classici: il prisma obliquo e la sfera.

Esempio — Volume del prisma obliquo

Un prisma retto e un prisma obliquo con la stessa base e la stessa altezza hanno lo stesso volume: a ogni quota $z$ le due sezioni sono congruenti alla base (e quindi di ugual area). Per Cavalieri, $V_{\text{obliquo}} = V_{\text{retto}} = B\cdot h.$

Esempio — Volume della sfera via Cavalieri (la dimostrazione di Archimede)

Confrontiamo la semisfera di raggio $R$ con il solido ottenuto dal cilindro retto di raggio $R$ e altezza $R$ a cui si toglie un cono retto di raggio $R$ e altezza $R$ (cono “invertito” rispetto al cilindro). A quota $z\in[0,R]$ dalla base:

• Sezione della semisfera: disco di raggio $r_S = \sqrt{R^2-z^2}$, area $\pi(R^2-z^2)$.
• Sezione del cilindro meno cono: corona circolare con raggio esterno $R$ e raggio interno $r_C = z$ (dal cono), area $\pi R^2 - \pi z^2 = \pi(R^2-z^2)$.

Le aree coincidono a ogni quota $z$. Per Cavalieri: $V_{\text{semisfera}} = V_{\text{cilindro}} - V_{\text{cono}} = \pi R^2\cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2\cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3,$ da cui $V_{\text{sfera}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3$, lo stesso risultato che ricaveremo con l’integrale.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Metodi: Cavalieri prisma
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Archimede · Bonaventura Cavalieri