Teorema delle tre perpendicolari

Dal criterio di perpendicolarità discende uno dei risultati più utili della geometria dello spazio.

Teorema — Teorema delle tre perpendicolari

Sia $r$ una retta $\perp$ a un piano $\pi$ in un punto $H$, e sia $s$ una retta di $\pi$ non passante per $H$. Sia $K$ il piede della perpendicolare da $H$ a $s$ (nel piano $\pi$). Allora, per qualunque punto $V$ sulla retta $r$ (con $V\ne H$), la retta $VK$ è perpendicolare a $s$.

Dimostrazione

Poiché $r\perp\pi$ in $H$ e $s\subset\pi$, si ha $r\perp s$. Inoltre $HK\perp s$ per costruzione (è la perpendicolare abbassata da $H$ a $s$ nel piano). Consideriamo il piano $\alpha$ che contiene la retta $r$ e i punti $H$ e $K$: sia $r$ sia $HK$ giacciono in $\alpha$. La retta $s$ è dunque perpendicolare a due rette distinte di $\alpha$, quindi $s\perp\alpha$. Poiché $VK$ giace nello stesso piano $\alpha$, ne segue $s\perp VK$. $\blacksquare$

La retta $r$ è perpendicolare al piano in $H$; $K$ è il piede della perpendicolare da $H$ a $s$. Allora $VK\perp s$.

Osservazione — Applicazione: piramide retta

Il teorema delle tre perpendicolari spiega perché, in una piramide retta, l’altezza $VH$ cade nel centro del cerchio inscritto nella base. Se $VH\perp$ al piano di base, allora $VH$ è perpendicolare a ogni retta della base, in particolare agli spigoli di base. Dunque l’apotema di ciascuna faccia laterale è $\perp$ allo spigolo di base, e i piedi di queste perpendicolari risultano tutti equidistanti da $H$: cioè $H$ è il centro del cerchio inscritto nella base.

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Perpendicolarita retta piano · Piramide · Teorema tre perpendicolari
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica