Il problema del Paguro

Testo

Una spirale di triangoli rettangoli consecutivi, ciascuno costruito sull’ipotenusa del precedente con cateti $3, 4, 5$.

1. Dimostra che i triangoli sono simili.
2. Trova il rapporto di similitudine tra due triangoli consecutivi.
3. Calcola la somma delle aree degli infiniti triangoli.

Soluzione

1. Sono simili perché hanno gli angoli congruenti (tutti rettangoli, con lo stesso angolo al centro della spirale).

2. Il cateto maggiore di un triangolo diventa l’ipotenusa del successivo: il rapporto di similitudine è $k = \dfrac{4}{5}$.

3. Il rapporto tra le aree di due triangoli consecutivi è $k^2 = \dfrac{16}{25}$. L’area del primo triangolo è $A_0 = \dfrac{3\cdot 4}{2} = 6$.

Le aree formano una serie geometrica: $A_{\text{tot}} = 6 + 6\cdot\frac{16}{25} + 6\cdot\left(\frac{16}{25}\right)^2 + \cdots = 6\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{16}{25}\right)^n.$

Trucco: poniamo $G = 1+\frac{16}{25}+\left(\frac{16}{25}\right)^2+\cdots$ e raccogliamo $\frac{16}{25}$: $G = 1 + \frac{16}{25}\cdot\underbrace{\left(1+\frac{16}{25}+\cdots\right)}_{=\,G} = 1+\frac{16}{25}\,G \implies \frac{9}{25}\,G = 1 \implies G = \frac{25}{9}.$

Dunque $A_{\text{tot}} = 6\cdot\dfrac{25}{9} = \boxed{\dfrac{50}{3}}$.

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Leggi di scala · Rapporto di similitudine · Serie geometrica · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Calcolare · Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico