Triangoli equivalenti (Cavalieri 2D)

Testo

Versione 2D di Cavalieri: mostrare che due triangoli aventi stessa base e stessa altezza hanno la stessa area.

Soluzione

Disponiamo i due triangoli con la base sulla stessa retta $r$ e il vertice opposto su una retta $s$ parallela a $r$ a distanza $h$ (l’altezza). Una retta parallela a $r$ a distanza $t$ dalla base ($0\le t\le h$) taglia ciascun triangolo in un segmento la cui lunghezza, per similitudine, vale $\ell(t) = b\left(1-\frac{t}{h}\right),$ dove $b$ è la base. Poiché entrambi i triangoli hanno la stessa base $b$ e la stessa altezza $h$, a ogni quota $t$ i due segmenti hanno la stessa lunghezza. Per il principio di Cavalieri (versione 2D) le due figure hanno la stessa area: $\boxed{A_1 = A_2 = \tfrac{1}{2}b h.}$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Principio di cavalieri
Metodi: Cavalieri principio
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione