Area massima a perimetro fissato

Primo dei quattro problemi-tipo di maturità: fra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, quello di area massima è il quadrato.

Esempio — Area massima a perimetro fissato

Tra tutti i rettangoli di perimetro $2p$ fissato, quale ha area massima?

Soluzione

Posto $x$ = base, $y$ = altezza, vincolo $2x+2y=2p \Rightarrow y=p-x$ (con $0<x<p$). Area: $A(x)=x(p-x)=px-x^2, \qquad A'(x)=p-2x=0 \Rightarrow x=\frac{p}{2},$ allora $y=p/2$ pure. Poiché $A''=-2<0$ si tratta di un massimo. Conclusione: il quadrato di lato $p/2$ massimizza l’area; $A_{\max}=\boxed{p^2/4}$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Geometria analitica · Modellizzare