Tre piani e punto comune

Testo

Mostrare che, dati tre piani che non contengono la stessa retta, esiste in generale un unico punto comune. Che cosa accade se i tre piani appartengono a uno stesso fascio?

Soluzione

Tre piani danno un sistema lineare di tre equazioni nelle tre incognite $x,y,z$. Se i tre vettori normali sono linearmente indipendenti (i piani non sono “allineati” attorno a una retta), il sistema è determinato e ha una sola soluzione: i tre piani si incontrano in un unico punto, come tre pareti che convergono in uno spigolo.

Se invece i tre piani appartengono a uno stesso fascio proprio, allora contengono tutti la retta asse $r$: ogni punto di $r$ soddisfa tutte e tre le equazioni. Il sistema è indeterminato e i punti comuni sono infiniti (tutta la retta $r$), non uno solo. Se appartengono a un fascio improprio sono paralleli e non hanno alcun punto in comune.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Fascio di piani · Piano
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Dimostrazione