Asintoti e centro di simmetria

Per disegnare una funzione omografica bastano i due asintoti e il loro punto d’incontro, tutti leggibili direttamente dai coefficienti.

Proprietà — Asintoti della funzione omografica

La funzione $y = \tfrac{ax+b}{cx+d}$ ha:

• Asintoto verticale: $x = -\tfrac{d}{c}$ (il valore di $x$ che annulla il denominatore);
• Asintoto orizzontale: $y = \tfrac{a}{c}$ (il limite di $y$ per $|x|\to\infty$);
• Centro di simmetria: $O'\left(-\tfrac{d}{c};\ \tfrac{a}{c}\right)$, intersezione dei due asintoti.

Le condizioni $c\ne 0$ (altrimenti è una retta) e $ad - bc \ne 0$ (altrimenti la funzione è costante, perché numeratore e denominatore sarebbero proporzionali) sono proprio ciò che garantisce che il grafico sia effettivamente un’iperbole.

Esplora con i cursori come i coefficienti $a$, $b$, $c$, $d$ spostano gli asintoti e il centro di simmetria della funzione omografica.

Trascina i cursori: gli asintoti $x=-\frac{d}{c}$, $y=\frac{a}{c}$ e il centro $O'$ seguono i coefficienti.

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Centro di simmetria · Funzione omografica
Funzioni: Funzione omografica
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Tracciare grafico