Esempio — intersezione di due circonferenze

Esempio

Intersecare $\gamma: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ e $\gamma': x^2 + y^2 - 4x = 0$.

Asse radicale: $(-2 - (-4))x + (-4 - 0)y + (4 - 0) = 0 \iff 2x - 4y + 4 = 0 \iff x - 2y + 2 = 0$.

Sistema retta-circonferenza (scegliamo $\gamma'$, più semplice): $\begin{cases} x = 2y - 2 \\ x^2 + y^2 - 4x = 0 \end{cases}$ Sostituendo: $(2y-2)^2 + y^2 - 4(2y-2) = 0 \iff 5y^2 - 16y + 12 = 0$.

$\Delta = 256 - 240 = 16$, quindi $y = \dfrac{16\pm 4}{10}$: $y_1 = 2$, $y_2 = \tfrac{6}{5}$.

Punti: $\boxed{G_1(2;2) \ \text{e}\ G_2\!\left(\tfrac{2}{5};\tfrac{6}{5}\right).}$

Ottenuti i valori di $y$ dall’equazione di secondo grado, le ascisse si ricavano dall’equazione dell’asse radicale $x = 2y - 2$.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse radicale · Intersezione circonferenze · Intersezione retta circonferenza
Metodi: Circonferenza intersezione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi