Baricentro - concorrenza delle mediane

Il baricentro è il punto in cui si incontrano le tre mediane del triangolo. Dimostriamo che le mediane sono effettivamente concorrenti e che il punto comune divide ciascuna mediana in rapporto $2:1$.

Teorema — Concorrenza delle mediane

Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un unico punto $G$ (baricentro), che divide ciascuna mediana in rapporto $\dfrac{2}{1}$ a partire dal vertice.

Dimostrazione — Le mediane sono concorrenti

1. Siano $M$ punto medio di $AC$ e $N$ punto medio di $BC$. Le mediane $BM$ e $AN$ si intersecano in un punto $G$.
2. Per il teorema sull’intersezione di due mediane, $G$ divide $AN$ in modo che $AG\cong 2\,GN$ e $BG\cong 2\,GM$.
3. Congiungiamo ora $C$ con $G$ e prolunghiamo fino a incontrare $AB$ in $K$.
4. Se da $C$ mandassimo la mediana (verso il punto medio di $AB$), essa dovrebbe, per lo stesso teorema, intersecare $AN$ in un punto $S$ tale che $AS = 2\,SN$. Ma $G$ è l’unico punto di $AN$ con questa proprietà; dunque $S$ coincide con $G$.
5. Quindi anche $CK$ passa per $G$, e $K$ è il punto medio di $AB$: tutte e tre le mediane sono concorrenti in $G$.

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Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Baricentro · Mediana
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica