Dimostrazione dell'angolo al centro

Dimostriamo che l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. L’idea chiave è tracciare il diametro dal vertice dell’angolo inscritto e sfruttare i triangoli isosceli che si formano con i raggi.

Il diametro $CD$ divide l’angolo inscritto $\widehat{ACB}$ e crea due triangoli isosceli $COA$ e $COB$.

Dimostrazione — Angolo al centro

1. Tracciamo il diametro $CD$ passante per $C$ e per il centro $O$. Il diametro divide l’angolo inscritto $\widehat{ACB}$ in due parti.
2. I triangoli $COA$ e $COB$ sono isosceli perché $CO\cong OA\cong OB$ (raggi).
3. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti: $\widehat{OCA}\cong\widehat{OAC}, \qquad \widehat{OCB}\cong\widehat{OBC}.$
4. Consideriamo ora $\widehat{DOA}$: è angolo esterno del triangolo $COA$, dunque: $\widehat{DOA} = \widehat{OCA}+\widehat{OAC} = 2\,\widehat{OCA}.$
5. Analogamente: $\widehat{DOB} = 2\,\widehat{OCB}$.
6. Sommando le due relazioni: $\widehat{AOB} = \widehat{DOA}+\widehat{DOB} = 2(\widehat{OCA}+\widehat{OCB}) = 2\,\widehat{ACB}.$

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Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Angolo al centro · Angolo alla circonferenza
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica