Diagonali che si bisecano e parallelogramma

Un’altra condizione sufficiente per il parallelogramma riguarda le diagonali: se si tagliano scambievolmente a metà, il quadrilatero è un parallelogramma. La dimostrazione usa gli angoli opposti al vertice e il I criterio.

Teorema — Diagonali che si bisecano

Se un quadrilatero ha le diagonali che si bisecano, allora è un parallelogramma.

Dimostrazione

Mostriamo che le coppie di triangoli formati dalle diagonali sono congruenti, e da ciò ricaviamo il parallelismo.

1. Ipotesi. Le diagonali $AC$ e $BD$ si intersecano in $M$ con $AM\cong MC$ e $BM\cong MD$.
2. Osservo. $\widehat{AMB}\cong\widehat{CMD}$ (angoli opposti al vertice).
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle AMB\cong\triangle CMD$, dunque $AB\cong CD$ e $\widehat{ABM}\cong\widehat{CDM}$ (alterni interni) $\implies AB\parallel CD$.
4. Analogamente. $\widehat{AMD}\cong\widehat{CMB}$ e $\triangle AMD\cong\triangle CMB \implies AD\parallel BC$.
5. Verificato. Dunque $ABCD$ è un parallelogramma.

$\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli alterni interni · Angoli opposti al vertice · Criteri congruenza · Dimostrazione · Parallelogramma
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica