Il rombo e le diagonali perpendicolari

Un parallelogramma diventa rombo (tutti i lati congruenti) non appena le sue diagonali sono perpendicolari. Lo si dimostra con il teorema di Pitagora applicato ai quattro triangoli rettangoli in cui le diagonali dividono la figura.

Teorema — Rombo (diagonali perpendicolari)

Se un parallelogramma ha le diagonali perpendicolari, allora è un rombo (tutti i lati congruenti).

Dimostrazione

Sfruttiamo il fatto che in un parallelogramma le diagonali si bisecano, e che la perpendicolarità rende i semi-lati uguali.

1. Ipotesi. $ABCD$ parallelogramma con $AC\perp BD$. Sia $O$ il punto di intersezione delle diagonali.
2. Osservo. Le diagonali di un parallelogramma si bisecano: $AO\cong OC$ e $BO\cong OD$.
3. Considero. Nel triangolo rettangolo $AOB$: $AB^2 = AO^2+OB^2$.
4. Analogamente. $BC^2 = OB^2+OC^2 = OB^2+AO^2 = AB^2$.
5. Deduco. Dunque $AB\cong BC$. Per la proprietà del parallelogramma ($AB\cong CD$, $BC\cong AD$), tutti e quattro i lati sono congruenti: $ABCD$ è un rombo.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Dimostrazione · Parallelogramma · Rombo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Pitagora