L'angolo esterno è maggiore degli interni non adiacenti

La prima versione del teorema dell’angolo esterno è una disuguaglianza, e vale in modo del tutto generale, senza bisogno di conoscere la somma degli angoli interni.

Teorema — Angolo esterno (disuguaglianza)

In ogni triangolo, un angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti.

Dimostrazione

La costruzione: $M$ punto medio di $BC$, $MD\cong AM$; l’angolo $\widehat{DBM}$ è solo una parte dell’angolo esterno in $B$.

Success

1. Costruzione. Sia $M$ il punto medio di $BC$. Congiungiamo $A$ con $M$ e prolunghiamo oltre $M$ di un segmento $MD\cong AM$. Congiungiamo $D$ con $B$.
2. Considero. I triangoli $ACM$ e $DBM$: $AM\cong MD$ (costruzione), $CM\cong MB$ ($M$ punto medio), $\widehat{AMC}\cong\widehat{DMB}$ (opposti al vertice).
3. Deduco. Per il I criterio: $\triangle ACM\cong\triangle DBM$, dunque $\widehat{ACM}\cong\widehat{DBM}$.
4. Osservo. Ora, $\widehat{DBM}$ è solo una parte dell’angolo esterno in $B$, dunque l’angolo esterno è maggiore di $\widehat{ACM} = \widehat{ACB}$.

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Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angoli opposti al vertice · Angolo esterno · Criteri congruenza · Dimostrazione
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica