Applicazione dello schema

Vediamo lo schema all’opera su un problema completo, seguendo i sei passi uno per uno.

Esempio — Applicazione dello schema

Problema: Nel triangolo $ABC$, sia $M$ il punto medio di $BC$. Dimostrare che $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$.

1. Figura: triangolo $ABC$ con $M$ punto medio di $BC$. Prolungo $AM$ di un segmento $MD\cong AM$.

2. Hp: $BM\cong MC$.    Th: $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$.

3. Backward Thinking: basta mostrare $2\,AM < AB+AC$, cioè $AM+MD < AB+AC$, cioè $AD < AB+AC$.

4. Costruzione: prolungo $AM$ oltre $M$ di $MD = AM$ e congiungo $D$ con $C$.

5. Triangoli: $\triangle AMB$ e $\triangle DMC$ hanno $AM\cong MD$, $BM\cong MC$, $\widehat{AMB}\cong\widehat{DMC}$ (opposti al vertice) $\implies$ per il I criterio $\implies$ $AB\cong DC$.

6. Conclusione: Per la disuguaglianza triangolare in $\triangle ADC$: $AD < AC + DC = AC + AB$. Dunque $2\,AM = AD < AB + AC$, cioè $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Criteri congruenza · Dimostrazione · Disuguaglianza triangolare · Mediana
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica