Disuguaglianza di Bernoulli

Esempio — Disuguaglianza di Bernoulli

Per $x>-1$ e $n\in\mathbb{N}$, $(1+x)^n \ge 1+nx.$ Base ($n=0$): $1\ge 1$. Vero.

Passo: moltiplichiamo l’ipotesi per $(1+x)>0$: $(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2\ge 1+(k+1)x,$ perché $kx^2\ge 0$. ∎

Si userà in Quinta per dimostrare che $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ è limitata.

Collegamenti

Argomenti: Teoria degli insiemi
Concetti: Principio di induzione
Metodi: Induzione
Competenze: Dimostrare
Persone: Jacob Bernoulli