Verifica che (AB) inversa uguale B inversa per A inversa

Testo

Verificare che $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ con due matrici $2\times 2$ a scelta.

Soluzione

Scegliamo $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ (entrambe invertibili, $\det A = 2$, $\det B = 1$). Membro sinistro. $AB = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, con $\det(AB) = 2$, quindi $(AB)^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$ Membro destro. $A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $\;B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, quindi $B^{-1}A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$ I due membri coincidono ✓. Nota l’ordine invertito dei fattori: è $B^{-1}A^{-1}$, non $A^{-1}B^{-1}$, perché il prodotto tra matrici non è commutativo.

Collegamenti

Argomenti: Sistemi lineari
Concetti: Matrice inversa · Prodotto tra matrici
Metodi: Matrice inversa 2x2
Competenze: Calcolare · Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione