Media della distribuzione esponenziale

Testo

Dimostrare che la media della distribuzione esponenziale è $1/\lambda$ calcolando $E[X] = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx$ per parti.

Soluzione

Integriamo per parti con $u = x$ (da cui $du = dx$) e $dv = \lambda e^{-\lambda x}\,dx$ (da cui $v = -e^{-\lambda x}$): $E[X] = \int_0^\infty x\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \Big[-x\,e^{-\lambda x}\Big]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx.$ Il termine di bordo si annulla: in $x=0$ vale $0$, e per $x\to\infty$ l’esponenziale domina la crescita lineare, quindi $x\,e^{-\lambda x}\to 0$. Resta $\int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx = \Big[-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}\Big]_0^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{\lambda}\right) = \boxed{\frac{1}{\lambda}}. \qquad \blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Distribuzioni probabilita
Concetti: Distribuzione esponenziale · Valore atteso
Competenze: Dimostrare · Integrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione