Problema — Raffreddamento di una tazza di tè

Testo

Una tazza di tè a $90°$C è in una stanza a $20°$C; dopo 5 minuti il tè è a $70°$C. Trovare $k$ e calcolare il tempo per arrivare a $30°$C.

Soluzione

Per la legge di raffreddamento di Newton $T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0-T_{\text{amb}})e^{-kt} = 20 + 70\,e^{-kt}$.

Calcolo di $k$. Da $T(5)=70$: $70 = 20 + 70\,e^{-5k}$, cioè $e^{-5k} = \dfrac{50}{70}=\dfrac{5}{7}$. Quindi: $k = \frac{1}{5}\ln\frac{7}{5} \approx 0{,}0673\ \text{min}^{-1}.$

Tempo per arrivare a $30°$C. Da $30 = 20 + 70\,e^{-kt}$: $e^{-kt} = \dfrac{10}{70}=\dfrac{1}{7}$, quindi: $t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{\ln 7}{0{,}0673} \approx \boxed{28{,}9\ \text{min}}$

Collegamenti

Argomenti: Equazioni differenziali
Concetti: Decadimento · Legge di raffreddamento di newton · Variabili separabili
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Calcolare · Modellizzare
Persone: Isaac Newton
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione