Dimostrazione del teorema della media integrale

La dimostrazione combina due teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass (esistenza di massimo e minimo) e i valori intermedi. Il filo conduttore è “incastrare” la media integrale tra il minimo e il massimo di $f$.

Dimostrazione

Passo 1 (Weierstrass). $f$ è continua su $[a,b]$, quindi per il teorema di Weierstrass ammette un valore minimo assoluto $f_{\min}$ e un valore massimo assoluto $f_{\max}$: $f_{\min} \le f(x) \le f_{\max} \qquad \text{per ogni } x\in[a,b].$

Passo 2 (integrazione delle disuguaglianze). Se si integrano funzioni ordinate da una disuguaglianza, gli integrali conservano la stessa disuguaglianza. Integrando da $a$ a $b$: $\int_a^b f_{\min}\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b f_{\max}\,dx.$ Ma $f_{\min}$ e $f_{\max}$ sono costanti, quindi: $f_{\min}\cdot(b-a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le f_{\max}\cdot(b-a).$

Passo 3 (divisione). Dividendo tutto per $(b-a) > 0$: $f_{\min} \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \le f_{\max},$ cioè $f_{\min} \le \bar f_{ab} \le f_{\max}$.

Passo 4 (valori intermedi). Siano $x_{\min}$ e $x_{\max}$ i punti dove $f$ raggiunge il minimo e il massimo: $f_{\min} = f(x_{\min})$, $f_{\max} = f(x_{\max})$. Sull’intervallo $[x_{\min}, x_{\max}]$ (o $[x_{\max}, x_{\min}]$), per il teorema dei valori intermedi, $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(x_{\min})$ e $f(x_{\max})$. Ma $\bar f_{ab}$ è compreso tra questi due valori: dunque esiste $c$ tale che $f(c) = \bar f_{ab}$. $\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Teoremi del calcolo
Concetti: Teorema dei valori intermedi · Teorema della media integrale · Teorema di weierstrass
Competenze: Dimostrare · Integrare
Persone: Karl Weierstrass