Area tra due curve

L’area della regione compresa tra i grafici di due funzioni si ottiene integrando la loro differenza (in valore assoluto): $A = \int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$ Se $f\ge g$ su tutto $[a,b]$, si può togliere il valore assoluto: $A = \int_a^b(f-g)\,dx$. Gli estremi $a,b$ sono di solito le ascisse dei punti d’intersezione delle due curve.

Esempio — Area tra $f(x) = -x^2+4x$ e $g(x) = 1+x$

Le intersezioni si trovano da $-x^2+4x = 1+x$, cioè $x^2-3x+1=0$: $x_A\approx 0{,}38$ e $x_B\approx 2{,}62$. Sull’intervallo la parabola sta sopra la retta, quindi: $A = \int_{0{,}38}^{2{,}62}\bigl[(-x^2+4x)-(1+x)\bigr]\,dx = \int_{0{,}38}^{2{,}62}(-x^2+3x-1)\,dx.$

La regione verde tra la parabola $f$ (blu) e la retta $g$ (rossa): l’area è l’integrale della differenza $f-g$ tra le due intersezioni.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Area tra due curve · Integrale definito
Competenze: Geometria analitica · Integrare · Interpretare grafico