Integrazione per parti

Quando l’integrando è un prodotto di funzioni di natura diversa (un polinomio per un’esponenziale, un logaritmo, ecc.), si usa l’integrazione per parti, che nasce dalla regola di derivazione del prodotto letta al contrario.

Proprietà — Integrazione per parti

$\int f'g\,dx = fg - \int fg'\,dx.$ Regola: $f'$ si integra ($\to f$), $g$ si deriva ($\to g'$). Va scelto in modo che il “secondo pezzo” $\int fg'\,dx$ sia più semplice dell’originale.

Esempio — $\int_1^e\ln x\,dx = 1$

Scegliamo $f'=1 \to f=x$; $g=\ln x \to g'=1/x$: $\bigl[x\ln x\bigr]_1^e - \int_1^e x\cdot\frac{1}{x}\,dx = (e\cdot 1 - 0) - [x]_1^e = e-(e-1) = \boxed{1}.$

Esempio — Scelta sbagliata vs giusta: $\int xe^{2x}\,dx$

Scelta sbagliata: $f'=x$, $g=e^{2x}$ $\to$ il secondo pezzo diventa $\int\dfrac{x^2}{2}\cdot 2e^{2x}\,dx$ — più complicato!

Scelta giusta: $f'=e^{2x} \to f=\dfrac{e^{2x}}{2}$; $g=x \to g'=1$: $\frac{xe^{2x}}{2} - \int\frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{xe^{2x}}{2} - \frac{e^{2x}}{4}+C.$

La regola pratica: derivare il fattore che si semplifica derivando (il polinomio, il logaritmo), integrare quello che resta “uguale a sé stesso” (l’esponenziale).

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale per parti
Metodi: Integrale parti
Competenze: Calcolare · Integrare