Volume della piramide

Una piramide con base di area $B$ e altezza $H$ si “affetta” in strati orizzontali di spessore $dz$. A quota $z$ (misurata dalla punta), la sezione è simile alla base con fattore di scala lineare $z/H$: l’area della sezione è quindi $A(z) = B\cdot(z/H)^2$.

La piramide affettata: a quota $z$ dalla punta la sezione è simile alla base con fattore $z/H$.

Il volume del singolo strato è $dV = A(z)\,dz = B\cdot\dfrac{z^2}{H^2}\,dz$. Sommiamo da $z=0$ (punta) a $z=H$ (base): $V = \int_0^H B\cdot\frac{z^2}{H^2}\,dz = \frac{B}{H^2}\int_0^H z^2\,dz = \frac{B}{H^2}\cdot\frac{H^3}{3} = \boxed{\dfrac{1}{3}B\cdot H}.$

Osservazione

La formula $V = \frac{1}{3}Bh$ vale per qualunque piramide (anche non retta, anche con base irregolare): l’unica cosa che conta è che le sezioni a quota $z$ siano simili alla base con fattore lineare. È lo stesso principio del cono (una “piramide a base circolare”) e spiega perché il fattore $1/3$ compaia in entrambi.

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Principio di cavalieri · Volume per sezioni
Competenze: Calcolare · Integrare