Volume della sfera

La sfera si “affetta” in dischi circolari di spessore $dz$. A quota $z$, il disco ha raggio $r(z) = \sqrt{R^2-z^2}$ e volume $dV = \pi r^2\,dz = \pi(R^2-z^2)\,dz.$

La sfera affettata in dischi: a quota $z$ il disco ha raggio $r(z)=\sqrt{R^2-z^2}$.

Sommando i dischi da $z=-R$ a $z=R$: $V = \int_{-R}^{R}\pi(R^2-z^2)\,dz = \pi\left[R^2 z - \frac{z^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left[2R^3-\frac{2R^3}{3}\right] = \boxed{\dfrac{4}{3}\pi R^3}.$

Collegamenti

Argomenti: Integrale
Concetti: Integrale definito · Volume per sezioni
Competenze: Calcolare · Integrare