Studio di funzione completo - i sei passaggi

Lo studio di funzione è la procedura sistematica per disegnare il grafico qualitativo di una funzione, senza calcolatrice, usando solo il calcolo differenziale. Si segue uno schema preciso in sei passaggi.

In sintesi — I sei passaggi dello studio di funzione

1. Dominio della funzione. (Dove è definita?)
2. Limiti ai bordi del dominio $\to$ asintoti (orizzontali, verticali, obliqui).
3. Segno della funzione: $f(x)>0$? $f(x)<0$? Dove interseca l’asse $x$?
4. Derivata prima: segno di $f'(x)$ $\to$ intervalli di crescenza/decrescenza, massimi/minimi relativi. Massimi/minimi assoluti con la tabella dei bordi + stazionari.
5. Derivata seconda: segno di $f''(x)$ $\to$ concavità/convessità, punti di flesso.
6. Grafico: assemblare tutte le informazioni in un disegno.

Ogni passaggio aggiunge un’informazione al grafico: il dominio dice “dove” disegnare, i limiti e gli asintoti descrivono il comportamento ai bordi, il segno colloca la curva sopra o sotto l’asse $x$, la derivata prima dà la forma “a gobbe e valli”, la derivata seconda la curvatura. L’ultimo passo mette tutto insieme.

Esempio — Studio completo: $f(x) = \sin x\cdot e^{-\cos x}$

Passo 1 — Dominio: $f$ è definita per ogni $x\in\mathbb{R}$ (prodotto di funzioni definite ovunque). $f$ è periodica di periodo $2\pi$.

Passo 2 — Simmetrie: $f(-x) = \sin(-x)\cdot e^{-\cos(-x)} = -\sin x\cdot e^{-\cos x} = -f(x)$. Dunque $f$ è dispari (grafico simmetrico rispetto all’origine). Basta studiare $f$ su $[0,2\pi]$ (o su $[0,\pi]$ e ricostruire per simmetria).

Passo 3 — Segno: $e^{-\cos x}>0$ sempre. Quindi $f(x)>0 \iff \sin x > 0 \iff x\in(0,\pi)$ (nel primo periodo); $f(x)<0$ per $x\in(\pi,2\pi)$; $f(x)=0$ per $x=0, \pi, 2\pi$.

Segno di $f$ nel primo periodo: positiva su $(0,\pi)$, negativa su $(\pi,2\pi)$.

Passo 4 — Derivata prima: $f'(x) = \cos x\cdot e^{-\cos x} + \sin x\cdot e^{-\cos x}\cdot\sin x = e^{-\cos x}(\cos x + \sin^2 x).$ Poiché $e^{-\cos x}>0$, il segno di $f'$ è quello di $\cos x + \sin^2 x = \cos x + 1 - \cos^2 x$. Ponendo $u=\cos x$ si studia $-u^2+u+1 > 0$, cioè $u^2-u-1<0$ con $u\in[-1,1]$. Con $\Delta = 1+4 = 5$ si ha $u = \dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$; l’unica radice in $[-1,1]$ è $u_0 = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0{,}618$. Quindi $f'(x)>0$ quando $\cos x > u_0$; in $(0,2\pi)$ si ha $\cos x = u_0$ per $x\approx 2{,}24$ (massimo relativo) e $x\approx 4{,}04$ (minimo relativo).

Passo 5 — Derivata seconda: si lascia come esercizio; il segno di $f''$ determina i flessi.

Passo 6 — Grafico:

Grafico di $f(x)=\sin x\cdot e^{-\cos x}$ su $[0,2\pi]$: massimo relativo $\approx 1{,}46$ vicino a $x\approx 2{,}24$, minimo relativo $\approx -1{,}46$ vicino a $x\approx 4{,}04$; per simmetria dispari il grafico si prolunga rispetto all’origine.

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Asintoto · Concavita convessita · Crescenza decrescenza · Dominio · Flesso · Massimi minimi relativi · Segno · Studio di funzione
Metodi: Studio funzione
Competenze: Studiare funzione · Tracciare grafico