Test della derivata prima

Una volta trovati i punti stazionari, il test della derivata prima stabilisce di che tipo sono, osservando come cambia il segno di $f'$ attorno a ciascuno di essi.

Proprietà — Condizione sufficiente (test della derivata prima)

Se $f'(x_0)=0$ e:

• $f'$ passa da $+$ a $-$ attorno a $x_0$ $\implies$ massimo relativo;
• $f'$ passa da $-$ a $+$ $\implies$ minimo relativo;
• $f'$ non cambia segno $\implies$ flesso a tangente orizzontale (né max né min).

L’idea è intuitiva: dove $f'>0$ la funzione cresce, dove $f'<0$ decresce. Se prima cresce e poi decresce siamo in cima a una “gobba” (massimo); se prima decresce e poi cresce siamo in fondo a una “valle” (minimo); se il segno non cambia la funzione riprende la stessa monotonia e il punto è un flesso orizzontale.

I tre comportamenti di un punto stazionario: massimo ($f'$ da $+$ a $-$), minimo ($f'$ da $-$ a $+$) e flesso a tangente orizzontale ($f'$ non cambia segno).

Collegamenti

Argomenti: Studio di funzione
Concetti: Crescenza decrescenza · Flesso · Massimi minimi relativi · Punto stazionario
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Studiare funzione · Tracciare grafico