Studio di x·e alla −x

Testo

Studiare $f(x) = x\,e^{-x}$ (dominio $\mathbb{R}$, tutti i passaggi, con grafico).

Soluzione

Dominio: $\mathbb{R}$. Simmetria: nessuna. Intersezioni: $f(0)=0$, unico zero in $x=0$; segno concorde con $x$ (perché $e^{-x}>0$).

Asintoti: $\lim_{x\to+\infty} x e^{-x} = 0^+$ (asintoto orizzontale $y=0$ a destra); $\lim_{x\to-\infty} x e^{-x} = -\infty$.

Derivata prima: $f'(x)=e^{-x}-x e^{-x}=e^{-x}(1-x)$. Si annulla in $x=1$; $f'>0$ per $x<1$, $f'<0$ per $x>1$: massimo in $\bigl(1,\tfrac1e\bigr)$, con $\tfrac1e\approx 0{,}368$.

Derivata seconda: $f''(x)=e^{-x}(x-2)$, si annulla in $x=2$: flesso in $\bigl(2,\tfrac{2}{e^2}\bigr)$.

Massimo in $(1,1/e)$, asintoto $y=0$ a destra, divergenza a $-\infty$ per $x\to-\infty$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Asintoto · Massimo minimo · Regole di derivazione
Competenze: Studiare funzione · Tracciare grafico
Tipo di esercizio: Studio di funzione