Studio di (x²−1) su (x²+1)

Testo

Studiare la funzione $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$ (tutti i sei passaggi, con grafico).

Soluzione

Dominio: $\mathbb{R}$ (denominatore mai nullo). Simmetria: $f(-x)=f(x)$, funzione pari.

Segno e intersezioni: $f(0)=-1$; zeri per $x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1$.

Asintoti: $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = 1$: asintoto orizzontale $y=1$ (nessun asintoto verticale).

Derivata prima: $f'(x)=\dfrac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$. Si annulla in $x=0$; $f'<0$ per $x<0$, $f'>0$ per $x>0$: minimo in $(0,-1)$. Immagine $[-1,\,1)$.

Derivata seconda: $f''(x)=\dfrac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3}$, che si annulla in $x=\pm\frac{1}{\sqrt3}$: due flessi. Concava verso l’alto per $|x|<\frac{1}{\sqrt3}$.

Curva pari, minimo in $(0,-1)$, asintoto orizzontale $y=1$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Asintoto · Massimo minimo · Regole di derivazione
Competenze: Studiare funzione · Tracciare grafico
Tipo di esercizio: Studio di funzione