Settore circolare di perimetro minimo

Un problema di ottimizzazione con vincolo: si fissa l’area di un settore circolare e si cerca il raggio che ne minimizza il perimetro.

Esempio — Settore circolare di area fissa con perimetro minimo

Un settore circolare ha area $A=100$. Trovare il raggio $r$ che minimizza il perimetro.

Soluzione

Impostazione. L’area del settore è $A = \frac{1}{2}r^2\theta = 100$, da cui $\theta = 200/r^2$. Il perimetro è la somma dei due raggi e dell’arco ($r\theta$): $P = 2r + r\theta = 2r + \frac{200}{r}.$

Derivata: $P'(r) = 2 - \dfrac{200}{r^2} = 0 \iff r^2 = 100 \iff r = 10$.

$P_{\min} = 2\cdot 10 + 200/10 = 20+20 = \boxed{40}$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Derivare · Modellizzare