Il metodo di ottimizzazione

In un problema di ottimizzazione si cerca il massimo o il minimo di una grandezza geometrica o fisica, che si esprime come funzione di una variabile (o di un parametro). Il metodo è: (1) scrivere la funzione obiettivo; (2) derivare; (3) porre la derivata uguale a zero; (4) verificare che si tratti di un massimo o di un minimo (con $f''$ o con la tabella dei segni).

Esempio — Ipotenusa minima

Un triangolo rettangolo ha un cateto di altezza $h=8$. Sia $x$ la proiezione di questo cateto sull’ipotenusa. Trovare $x$ che minimizza la lunghezza dell’ipotenusa $i$.

Il cateto $CH=h$ è l’altezza relativa all’ipotenusa; $x$ è la proiezione di un cateto, $i-x$ quella dell’altro.

Soluzione

Impostazione. Dal secondo teorema di Euclide: $x\cdot(i-x) = h^2 = 64$. Da cui: $i = x + \frac{64}{x}, \qquad x > 0.$ Nota: se una frazione ha più addendi al numeratore, prima di derivare conviene trasformarla in una somma di frazioni. Qui è già fatto: $i = x + 64/x = x + 64\cdot x^{-1}$.

Derivata: $i'(x) = 1 - \dfrac{64}{x^2}$.

$i'(x) = 0 \iff x^2 = 64 \iff x = 8$ (scartiamo $x=-8$ perché $x>0$).

Verifica: $i''(x) = \dfrac{128}{x^3} > 0$ per $x>0$: la funzione è convessa, quindi $x=8$ è un minimo.

$i_{\min} = 8 + 64/8 = 8 + 8 = \boxed{16}$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Funzione obiettivo · Massimo minimo · Punto stazionario
Metodi: Massimo minimo derivata
Competenze: Modellizzare · Studiare funzione