Sviluppi di Maclaurin notevoli

Alcuni sviluppi di Maclaurin vanno conosciuti a memoria: sono i “mattoni” da cui, per sostituzione e combinazione, si ricavano tutti gli altri.

In sintesi — Sviluppi di Maclaurin fondamentali

Per $x\to 0$ (resto di Peano):

e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2k+2}) \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2k+1}) \\ \ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \\ \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n) \quad (|x|<1) \\ (1+x)^\alpha &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n}x^n + o(x^n) \end{aligned}$$

Esempio — Approssimazione numerica di $e$

Da $e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + \cdots$ con $x = 1$: $e \approx 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = 2{,}71\overline{6}.$ Il valore vero è $e\approx 2{,}71828$: l’errore è $\approx 1{,}6\cdot 10^{-3}$. Usando il resto di Lagrange con $c\in(0,1)$: $|R_5(1)| = \frac{e^c}{6!}\cdot 1^6 < \frac{e}{720} < \frac{3}{720} \approx 4{,}2\cdot 10^{-3},$ maggiorazione coerente con l’errore osservato.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Polinomio di maclaurin · Resto di taylor · Sviluppo notevole
Metodi: Taylor resto lagrange
Competenze: Stimare · Usare formule
Persone: Maclaurin