Il resto — Lagrange, Peano, Cauchy

Il polinomio di Taylor approssima $f$, ma con quale errore? Il resto $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ si può scrivere in tre forme equivalenti, ciascuna utile in un contesto diverso.

Teorema — Formula di Taylor con resto di Lagrange

Se $f$ è derivabile $n+1$ volte in un intorno di $x_0$, per ogni $x$ in quell’intorno esiste un punto $c$ strettamente compreso tra $x_0$ e $x$ tale che $f(x) = T_n(x) + \underbrace{\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}_{R_n(x):\ \text{resto di Lagrange}}.$

Osservazione — Lettura linguistica: " $\forall x\,\exists c$"

La struttura logica della formula è nidificata: per ogni $x$ nell’intorno, esiste un $c$ (che dipende da $x$!) tale che vale l’uguaglianza. È un "$\forall x\,\exists c$", non un "$\exists c\,\forall x$": il punto $c$ cambia con $x$ e non si conosce esattamente, si sa solo che sta tra $x_0$ e $x$. Per le applicazioni numeriche questo basta: per maggiorare l’errore $|R_n(x)|$ si maggiora $|f^{(n+1)}|$ su tutto l’intervallo (così la stima vale qualunque sia $c$). Saper leggere "$\forall\ldots\exists\ldots$" è, come osserva Esty, una competenza di livello superiore alla sola manipolazione algebrica.

Teorema — Formula di Taylor con resto di Peano

Se $f$ è derivabile $n$ volte in $x_0$, allora per $x\to x_0$ $f(x) = T_n(x) + o\bigl((x-x_0)^n\bigr),$ dove $o\bigl((x-x_0)^n\bigr)$ è una funzione che tende a zero più rapidamente di $(x-x_0)^n$ (o-piccolo).

Teorema — Formula di Taylor con resto di Cauchy

Sotto le ipotesi di Lagrange, esiste $c$ tra $x_0$ e $x$ tale che $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n(x-x_0).$

Osservazione — Quando usare quale

• Lagrange: serve quando si vuole stimare numericamente l’errore di approssimazione (basta maggiorare $|f^{(n+1)}|$ sull’intervallo).
• Peano: serve quando si vuole calcolare un limite indeterminato sostituendo $f$ con la sua serie di Taylor.
• Cauchy: forma alternativa di Lagrange, utile in qualche dimostrazione tecnica (raramente nei calcoli).

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: O piccolo · Polinomio di taylor · Resto di taylor
Metodi: Taylor resto lagrange · Taylor resto peano
Competenze: Stimare
Persone: Augustin-Louis Cauchy · Joseph-Louis Lagrange · Peano