Radice cubica di 10 con Newton

Testo

Calcolare $\sqrt[3]{10}$ con quattro iterazioni del metodo di Newton, prendendo $f(x)=x^3-10$ e $x_0=2$.

Soluzione

Con $f(x)=x^3-10$ e $f'(x)=3x^2$, l’iterazione è $x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3-10}{3x_n^2} = \frac{2x_n}{3}+\frac{10}{3x_n^2}.$ Partendo da $x_0=2$:

$n$	$x_n$
$0$	$2$
$1$	$2{,}166667$
$2$	$2{,}154504$
$3$	$2{,}154435$
$4$	$2{,}154435$

Il valore si stabilizza a $\boxed{\sqrt[3]{10}\approx 2{,}154435}$, corretto a sei cifre decimali già dalla terza iterazione: ancora una volta la convergenza quadratica raddoppia (circa) le cifre esatte a ogni passo.

Collegamenti

Argomenti: Continuita
Concetti: Convergenza quadratica · Metodo di newton raphson
Metodi: Newton raphson
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni