Esercizio svolto — Formula di Binet per Fibonacci

Testo

Successione di Fibonacci: $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ con $F_0 = 0$, $F_1 = 1$. Mostrare (per induzione o per via diretta) che $F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}, \qquad \varphi = \frac{1+\sqrt5}{2},\quad \psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ (formula di Binet). Calcolare inoltre $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}$.

Soluzione

Formula di Binet. $\varphi$ e $\psi$ sono le radici dell’equazione caratteristica $x^2 = x + 1$, cioè $x^2 - x - 1 = 0$. Ogni successione della forma $x^n$ con $x$ radice soddisfa la ricorrenza $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$; per linearità la soddisfa anche $F_n = A\varphi^n + B\psi^n$. Imponendo le condizioni iniziali: $F_0 = A + B = 0,\qquad F_1 = A\varphi + B\psi = 1.$ Da $B = -A$ segue $A(\varphi-\psi) = 1$; poiché $\varphi - \psi = \sqrt5$, si ha $A = 1/\sqrt5$, $B = -1/\sqrt5$, da cui $F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}.$ Limite del rapporto. Poiché $|\psi| = \left|\frac{1-\sqrt5}{2}\right| \approx 0{,}618 < 1$, il termine $\psi^n \to 0$ e domina $\varphi^n$. Quindi $\frac{F_{n+1}}{F_n} = \frac{\varphi^{n+1} - \psi^{n+1}}{\varphi^n - \psi^n} \to \varphi = \boxed{\frac{1+\sqrt5}{2}}\approx 1{,}618,$ la sezione aurea.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Successione per ricorrenza
Competenze: Calcolare limiti · Dimostrare
Persone: Binet · Leonardo Fibonacci
Tipo di esercizio: Calcolo limite · Dimostrazione