Esercizio svolto — Radice nidificata

Testo

Verificare che la radice nidificata a $n$ livelli $a_n = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2+\cdots}}}$ soddisfa la ricorrenza $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ con $a_0 = \sqrt{2}$; mostrare che è crescente e limitata da $2$, e calcolarne il limite.

Soluzione

Ricorrenza. Aggiungere un livello alla radice significa incastonare l’espressione precedente sotto una nuova radice: $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$, con $a_0 = \sqrt2 \approx 1{,}414$.

Limitatezza ($a_n < 2$), per induzione. Vale $a_0 = \sqrt2 < 2$. Se $a_n < 2$, allora $a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} < \sqrt{2+2} = 2$. Dunque $a_n < 2$ per ogni $n$.

Crescenza. Si ha $a_{n+1} > a_n \iff \sqrt{2+a_n} > a_n \iff 2 + a_n > a_n^2 \iff a_n^2 - a_n - 2 < 0 \iff (a_n-2)(a_n+1) < 0$, vero per $-1 < a_n < 2$, condizione soddisfatta. La successione è quindi crescente.

Limite. Crescente e limitata superiormente $\Rightarrow$ converge a un valore $\ell$. Passando al limite nella ricorrenza $\ell = \sqrt{2+\ell}$, cioè $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, da cui $(\ell-2)(\ell+1) = 0$. Scartando la radice negativa: $\ell = \boxed{2}.$

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Monotonia · Successione limitata · Successione per ricorrenza
Competenze: Calcolare limiti · Dimostrare
Tipo di esercizio: Calcolo limite · Dimostrazione