Il numero e come limite di successione

Il teorema sulle successioni monotone limitate ha un’applicazione celebre: definisce rigorosamente il numero $e$.

Teorema — Definizione di Eulero del numero $e$

La successione $e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è crescente e limitata superiormente. Il suo limite è il numero di Eulero $e = \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828\ldots$

Essendo la successione $e_n$ monotona crescente e limitata superiormente, il teorema delle successioni monotone limitate garantisce che il limite esiste ed è finito: quel limite è, per definizione, il numero $e$.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Monotonia · Numero di nepero · Successione limitata
Metodi: Numero e via successione
Persone: Leonhard Euler (Eulero)