Tetraedro regolare

Testo

Dato un tetraedro regolare di spigolo $\ell$, calcola l’altezza, il raggio della sfera inscritta e il volume.

Soluzione

La base è un triangolo equilatero: la sua altezza è $h_b = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\ell$ e l’apotema (distanza dal centro a un lato) è $m = \tfrac{h_b}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{6}\ell$. Il piede $H$ dell’altezza cade nel baricentro, a distanza $2m = \tfrac{\sqrt{3}}{3}\ell$ da ciascun vertice di base.

Altezza del tetraedro (Pitagora su spigolo e proiezione): $h = \sqrt{\ell^2 - (2m)^2} = \sqrt{\ell^2 - \tfrac{\ell^2}{3}} = \ell\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \boxed{\dfrac{\sqrt{6}}{3}\,\ell}.$ Volume: $V = \tfrac{1}{3}S_b\, h = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\ell^2\cdot \tfrac{\sqrt{6}}{3}\ell = \boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{12}\,\ell^3}.$ Raggio della sfera inscritta: per un tetraedro regolare vale $r = \tfrac{1}{4}h$, quindi $r = \tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{\sqrt{6}}{3}\ell = \boxed{\dfrac{\sqrt{6}}{12}\,\ell}.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Piramide · Poliedri regolari · Sfera · Volume
Competenze: Calcolare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico