Tronco di piramide come differenza

Un tronco di piramide si ottiene sezionando una piramide con un piano parallelo alla base: il suo volume è la differenza tra la piramide completa e quella “piccola” tagliata via.

Esempio — Piramide sezionata = tronco

Tronco di piramide a base triangolare equilatera: lato della base inferiore $\ell=2$, lato della base superiore $\ell'=1$, distanza tra le basi $h_{\text{tronco}}=3$.

Rapporto di similitudine: $k = \ell'/\ell = 1/2$. Le altezze della piramide “completa” e di quella “piccola” stanno nel rapporto $h/h' = 1/k = 2$, con $h = h'+3$, da cui $h' = 3$ e $h = 6$. $V_{\text{grande}} = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 4\cdot 6 = 2\sqrt{3}, \qquad V_{\text{piccola}} = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1\cdot 3 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}.$ $V_{\text{tronco}} = V_{\text{grande}} - V_{\text{piccola}} = 2\sqrt{3} - \tfrac{\sqrt{3}}{4} = \boxed{\tfrac{7\sqrt{3}}{4}}.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria sintetica spazio
Concetti: Similitudine solidi · Tronco di piramide · Volume
Competenze: Calcolare