Sfera centro raggio e piano tangente

Testo

Data la sfera $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z+5=0$, determinarne centro e raggio, e scrivere il piano tangente nel punto $D$ con $x_D=3$, $z_D=1$.

Soluzione

Centro e raggio. Con $a=-4,\ b=2,\ c=-6,\ d=5$: $C\left(-\tfrac{a}{2};-\tfrac{b}{2};-\tfrac{c}{2}\right)=(2;-1;3), \qquad R=\sqrt{4+1+9-5}=\sqrt9=3.$

Punto $D$. Sostituendo $x_D=3,\ z_D=1$ nell’equazione: $9+y^2+1-12+2y-6+5=0\Rightarrow y^2+2y-3=0\Rightarrow (y-1)(y+3)=0$, quindi $y=1$ oppure $y=-3$. Prendiamo $D(3;1;1)$.

Piano tangente. $\vec{CD}=D-C=(1;2;-2)$; il piano tangente in $D$ è $(\vec S-\vec D)\cdot\vec{CD}=0$: $1(x-3)+2(y-1)-2(z-1)=0 \iff \boxed{x+2y-2z-3=0}.$ (Con l’altra scelta $D'(3;-3;1)$ si ottiene analogamente un secondo piano tangente.)

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Piano tangente · Sfera
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico