Fascio proprio per una retta

Testo

Scrivere l’equazione del fascio proprio di piani passanti per la retta $r:\begin{cases}x+y=1\\z=0\end{cases}$ e trovare il piano del fascio che contiene $P(0;0;5)$.

Soluzione

La retta $r$ è l’intersezione dei due piani $\pi_1: x+y-1=0$ e $\pi_2: z=0$. Il fascio proprio di asse $r$ è $(x+y-1)+\lambda z = 0.$ Imponendo il passaggio per $P(0;0;5)$: $(0+0-1)+\lambda\cdot 5 = 0 \iff \lambda = \frac15.$ Il piano cercato è $(x+y-1)+\tfrac15 z=0$, cioè $\boxed{5x+5y+z-5=0}.$

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Fascio di piani · Piano
Metodi: Fascio piani proprio
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico