Posizioni reciproche retta-piano e angoli

In sintesi — Retta e piano

Data la retta $r$ di direzione $\vec v$ e il piano $\pi$ di normale $\vec n$:

• Coincidenti: la retta giace nel piano (identità nel sistema).
• Incidenti: un solo punto di intersezione; l’angolo retta–piano soddisfa $\sin\alpha = \dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|}$.
• Paralleli: nessun punto comune ($\vec v\cdot\vec n=0$ ma $P_0\notin\pi$).

L’angolo diedro tra due piani è l’angolo tra i loro vettori normali: $\cos\theta = \dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$.

Attenzione alla differenza: per l’angolo retta–piano compare il seno (la retta forma con il piano l’angolo complementare a quello con la normale), mentre per l’angolo tra due piani compare il coseno dei vettori normali.

La retta $r$ incide sul piano $\pi$; $\alpha$ è l’angolo retta–piano, $\vec n$ la normale.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Angolo diedro · Piano · Prodotto scalare · Retta · Retta nello spazio
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Usare formule