Fascio proprio

Proprietà — Equazione cartesiana di un fascio proprio

Se $\pi_1\colon a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0$ e $\pi_2\colon a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0$ sono due piani distinti che si intersecano lungo la retta $r$, il fascio proprio di asse $r$ ha equazione $\alpha(a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1) + \beta(a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2) = 0, \qquad (\alpha,\beta)\ne (0,0):$ ogni piano del fascio è una combinazione lineare dei due generatori. Posto $\lambda=\beta/\alpha$ (quando $\alpha\ne 0$) si scrive anche $(a_1+\lambda a_2)x+(b_1+\lambda b_2)y+(c_1+\lambda c_2)z+(d_1+\lambda d_2)=0,$ con un solo parametro $\lambda\in\mathbb{R}$ (il valore $\lambda=\infty$ corrisponde al solo $\pi_2$).

Esempio — Costruzione di un fascio proprio

Siano $\pi_1\colon x+y-z+1=0$ e $\pi_2\colon 2x-y+z=0$. La retta $r=\pi_1\cap\pi_2$ è l’asse del fascio $(x+y-z+1)+\lambda(2x-y+z)=0 \iff (1+2\lambda)x+(1-\lambda)y+(-1+\lambda)z+1=0.$ Per $\lambda=1$: $\;3x+1=0 \iff x=-\tfrac13$; per $\lambda=-1$: $\;-x+2y-2z+1=0$.

Esempio — Piano del fascio passante per un punto

Qual è il piano del fascio precedente che passa per $P(1;0;-1)$? Sostituendo $P$ nell’equazione del fascio: $(1+0-(-1)+1)+\lambda(2-0+(-1))=0 \iff 3+\lambda=0 \iff \lambda=-3.$ Il piano cercato è $(x+y-z+1)-3(2x-y+z)=0 \iff -5x+4y-4z+1=0$.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Fascio di piani · Piano
Metodi: Fascio piani proprio
Competenze: Geometria analitica · Usare formule