Componente parallela e perpendicolare

Ogni vettore $\vec a$ si può scomporre nella somma di una parte parallela a una direzione data $\vec b$ e di una parte a essa perpendicolare. È il meccanismo alla base del calcolo della distanza punto–retta.

Proprietà — Componente parallela e perpendicolare

$\vec a_\parallel = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\,\vec b, \qquad \vec a_\perp = \vec a - \vec a_\parallel.$ La distanza di $\vec a$ dalla direzione di $\vec b$ è $|\vec a_\perp|$.

Esempio

Scomponiamo $\vec a = (-7;0;2)$ rispetto al versore $\hat v\approx(0{,}371;\, 0{,}557;\, -0{,}742)$ (versore di $(2;3;-4)$).

Proiezione scalare: $\vec a\cdot\hat v = -7\cdot 0{,}371 + 0 + 2\cdot(-0{,}742) = -2{,}597 - 1{,}484 \approx -4{,}08.$ Quindi $\vec a_\parallel = -4{,}08\cdot\hat v$ e $\vec a_\perp = \vec a - \vec a_\parallel$; la lunghezza $d = |\vec a_\perp|$ è la distanza dal punto alla retta di direzione $\vec v$.

Usando direttamente il versore $\hat v$ (di modulo $1$) la formula si semplifica in $\vec a_\parallel = (\vec a\cdot\hat v)\,\hat v$.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Componente parallela · Prodotto scalare · Vettore
Competenze: Geometria analitica · Usare formule