Prodotto scalare

Definizione — Prodotto scalare

Dati $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ e $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$: $\vec u\cdot\vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.$ Il risultato è un numero (uno scalare), non un vettore.

Proprietà — Significato geometrico

$\vec u\cdot\vec v = |\vec u|\,|\vec v|\cos\theta,$ dove $\theta$ è l’angolo tra i due vettori. Conseguenze:

• Perpendicolarità: $\vec u\cdot\vec v = 0 \iff \vec u\perp\vec v$;
• Angolo: $\cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$;
• Modulo: $|\vec u|^2 = \vec u\cdot\vec u$.

Il prodotto scalare è lo strumento per calcolare angoli e per riconoscere le perpendicolarità: due vettori sono ortogonali esattamente quando il loro prodotto scalare è nullo.

Collegamenti

Argomenti: Geometria analitica spazio
Concetti: Prodotto scalare · Vettore
Competenze: Geometria analitica · Usare formule