Baricentro delle radici

Testo

Sapendo che le radici di $x^3+px+q=0$ sommano a $0$ (perché $a_2=0$), mostra che il baricentro delle tre radici nel piano di Argand-Gauss è sempre l’origine. (Vale per ogni polinomio depresso!)

Soluzione

Nel polinomio $x^3 + 0\cdot x^2 + px + q$ manca il termine di grado $2$, quindi $a_2=0$ e per Vieta $\sigma_1 = r_1+r_2+r_3 = -\frac{a_2}{a_3} = 0.$ Il baricentro dei tre punti che rappresentano le radici nel piano di Argand-Gauss è la loro media aritmetica: $G = \frac{r_1+r_2+r_3}{3} = \frac{0}{3} = \boxed{0}.$ Coincide dunque con l’origine. Lo stesso ragionamento vale per ogni polinomio depresso (senza termine di grado $n-1$): se $a_{n-1}=0$ allora $\sigma_1=0$ e il baricentro delle $n$ radici è l’origine.

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Baricentro · Piano di argand gauss · Relazioni di vieta
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione