Un ramo di iperbole

Testo

Verifica che $x(t)=\cosh t$, $y(t)=\sinh t$ ($t\in\mathbb{R}$) parametrizza un ramo dell’iperbole $x^2-y^2=1$.

Soluzione

Si usa l’identità fondamentale delle funzioni iperboliche $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$: $x^2 - y^2 = \cosh^2 t - \sinh^2 t = \boxed{1}.$ Quindi ogni punto della curva soddisfa l’equazione dell’iperbole. Inoltre $x=\cosh t\ge 1>0$ per ogni $t\in\mathbb{R}$: si percorre solo il ramo destro (quello con $x\ge 1$).

Collegamenti

Argomenti: Numeri complessi
Concetti: Forma implicita · Parametrizzazione
Competenze: Dimostrare
Tipo di esercizio: Dimostrazione