Errore standard e intervalli di confidenza

Quando misuriamo la media di un campione, otteniamo una stima — diversa da quella che otterremmo con un altro campione estratto dalla stessa popolazione. La domanda chiave è: quanto è precisa questa stima?

Proprietà — Errore standard della media

Se la popolazione ha deviazione standard $\sigma$ ed estraiamo $n$ valori indipendenti, la media campionaria $\bar X$ è una variabile casuale con $\text{(deviazione standard di }\bar X\text{)} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$ Questo numero si chiama errore standard della media ($\text{SE}$).

La conseguenza pratica è la celebre regola del $\sqrt{n}$: per dimezzare l’incertezza serve quadruplicare il campione, non semplicemente raddoppiarlo.

Proprietà — Intervallo di confidenza al 95% (approssimazione gaussiana)

Quando $n$ è abbastanza grande (di solito $n\ge 30$), per il teorema del limite centrale, $\bar X$ è approssimativamente gaussiana di media $\mu$ e deviazione standard $\sigma/\sqrt{n}$. L’intervallo di confidenza al 95% è $\bar x \pm 1,96\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},$ nel senso che il $95\%$ degli intervalli costruiti in questo modo contiene il vero valore $\mu$.

Esempio — Sondaggio elettorale

$n=1000$ intervistati, di cui $520$ dichiarano voto per il partito $A$. Stima della percentuale: $\hat p=0,52$. Per una proporzione, $s\approx\sqrt{\hat p(1-\hat p)}=\sqrt{0,52\cdot 0,48}\approx 0,4996$. Errore standard: $0,4996/\sqrt{1000}\approx 0,0158$. Intervallo al $95\%$: $0,52\pm 1,96\cdot 0,0158 \approx 0,52\pm 0,031 = (48,9\%;\,55,1\%).$ Il margine $\pm 3,1\%$ è il famoso “margine di errore” che leggiamo accanto a ogni sondaggio. È compatibile sia con una vittoria del partito $A$ sia con un sostanziale pareggio.

Esempio — Quanto campionare

Un istituto vuole stimare una proporzione con errore $\le 2\%$ al $95\%$. Posto $\hat p(1-\hat p)\le 0,25$ (massimo a $\hat p=0,5$): $1,96\cdot\frac{0,5}{\sqrt n}\le 0,02 \iff \sqrt n\ge \frac{1,96\cdot 0,5}{0,02}=49 \iff n\ge 2401.$ Servono almeno $2401$ intervistati: si capisce perché i sondaggi seri investono nel doppio dei rispondenti per dimezzare il margine.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Errore standard · Intervallo di confidenza · Margine di errore · Teorema del limite centrale
Metodi: Intervallo confidenza
Competenze: Calcolare · Stimare