Problema — Le tre risposte di Bertrand

Testo

Dimostra che le tre risposte del paradosso di Bertrand sono $1/3$, $1/4$ e $1/2$, usando una parametrizzazione esplicita per ciascuna.

Soluzione

Impostazione. Il paradosso chiede la probabilità che una corda «casuale» di un cerchio sia più lunga del lato del triangolo equilatero inscritto. La risposta dipende da come si definisce «casuale»: ogni parametrizzazione dà una misura di probabilità geometrica diversa.

• Estremi casuali sulla circonferenza ($1/3$): fissa un estremo e parametrizza l’altro con l’angolo uniforme; la corda supera il lato quando il secondo estremo cade nell’arco opposto, ampio un terzo della circonferenza.
• Punto medio casuale nel disco ($1/4$): parametrizza la corda con il suo punto medio uniforme sull’area del cerchio; la condizione è che il punto medio cada nel cerchio concentrico di raggio metà, la cui area è $1/4$ di quella totale.
• Raggio e distanza dal centro casuali ($1/2$): scegli una direzione e la distanza del punto medio dal centro uniforme lungo il raggio; la corda supera il lato quando tale distanza è minore di metà raggio, cioè con probabilità $1/2$. Per ciascun caso scrivi l’evento favorevole nella parametrizzazione scelta e calcola il rapporto delle misure per ottenere $1/3$, $1/4$, $1/2$. La morale: senza specificare il meccanismo di estrazione, «a caso» non è ben definito.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Paradosso di bertrand · Probabilita geometrica
Competenze: Calcolo probabilita · Dimostrare · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema probabilita