Indici di posizione e dispersione

Dopo aver visualizzato i dati, li si sintetizza con pochi numeri: indici di posizione (dove sta il centro) e indici di dispersione (quanto sono sparpagliati).

Definizione — Indici di posizione e dispersione

Dato un campione $x_1,x_2,\ldots,x_n$:

• media campionaria: $\bar x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ — il “baricentro” dei dati.
• mediana: il valore centrale dopo ordinamento ($n$ dispari) o la media dei due centrali ($n$ pari). Robusta agli outlier.
• varianza campionaria: $s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2$.
• deviazione standard campionaria: $s=\sqrt{s^2}$ (stessa unità di misura dei dati).

Osservazione — Perché " $n-1$" e non "$n$"

Nella varianza campionaria si divide per $n-1$ invece che per $n$ (correzione di Bessel): è il numero di gradi di libertà residui dopo aver speso un grado nel calcolo di $\bar x$. Garantisce che $E[s^2]=\sigma^2$ (stimatore corretto). Dividendo per $n$ si otterrebbe una sottostima sistematica. La lettura del denominatore $n-1$ come “gradi di libertà residui” è ripresa da Esty (Cap. 14).

Esempio — Voti di un compito

Voti di una classe di $10$ studenti: $4,5,6,6,7,7,7,8,9,10$. Media: $\bar x=69/10=6,9$. Mediana: media dei due centrali $(7+7)/2=7$. Varianza: somma di $(x_i-6,9)^2 = 26,9$, divisa per $9$: $s^2\approx 2,99$; $s\approx 1,73$.

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Deviazione standard · Media campionaria · Mediana · Varianza campionaria
Competenze: Calcolare · Stimare