Lato di un poligono regolare inscritto

Testo

Un poligono regolare ha $n$ lati inscritti in una circonferenza di raggio $R$. Determinare la lunghezza del lato in funzione di $n$ e $R$.

Soluzione

Ogni lato del poligono è una corda della circonferenza. Congiungendo due vertici consecutivi con il centro $O$ si forma un triangolo isoscele con i due lati uguali a $R$ e angolo al centro $\dfrac{2\pi}{n}$ (l’angolo giro diviso per il numero di lati).

Applicando il teorema della corda, l’angolo alla circonferenza che insiste sul lato è la metà dell’angolo al centro, cioè $\dfrac{\pi}{n}$, quindi il lato $\ell$ vale: $\ell = 2R\sin\frac{\pi}{n}.$ (Equivalentemente, nel triangolo isoscele si abbassa la bisettrice dall’angolo al centro, ottenendo due triangoli rettangoli con cateto opposto $\ell/2$ e ipotenusa $R$: $\ell/2 = R\sin\tfrac{\pi}{n}$.) $\boxed{\ell = 2R\sin\frac{\pi}{n}}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Poligono regolare · Teorema della corda
Funzioni: Seno
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico