Prodotto di fattori e tabella del segno

Vediamo il metodo dello studio del segno applicato a una disequazione già scritta come prodotto di due fattori: basta studiare separatamente il segno di ciascuno e combinarli in un’unica tabella.

Esempio — Dispensa del prof, 4C 2017-18

Risolvere $\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x\right) \ge 0$.

Fattore 1: $\sin x - \dfrac{1}{2} \ge 0 \iff \sin x \ge \dfrac{1}{2}$. Sulla circonferenza goniometrica, $\sin x = \dfrac{1}{2}$ per $x=\dfrac{\pi}{6}$ e $x=\dfrac{5\pi}{6}$; è positivo sopra la retta $y=\dfrac{1}{2}$, cioè in $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{6}\right]$.

Fattore 2: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \cos x \ge 0 \iff \cos x \le \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Si ha $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ per $x=\dfrac{\pi}{4}$ e $x=-\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{4}$; è minore o uguale a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ a sinistra della retta verticale $x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, cioè in $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}\right]$.

Tabella del segno su $[0,2\pi)$:

$x$	$\left[0,\tfrac{\pi}{6}\right)$	$\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4}\right)$	$\left[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{6}\right]$	$\left(\tfrac{5\pi}{6},\tfrac{7\pi}{4}\right]$	$\left(\tfrac{7\pi}{4},2\pi\right)$
$\sin x - \tfrac{1}{2}$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
$\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\cos x$	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$
prodotto	$+$	$-$	$+$	$-$	$+$

La disequazione $\ge 0$ è soddisfatta dove il prodotto è positivo o nullo: $\left[0,\frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{4},2\pi\right)$ Generalizzando con la periodicità ($x \to x + 2k\pi$) si ottiene la soluzione completa.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Scomposizione in fattori · Studio del segno · Tabella del segno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Interpretare grafico · Ragionare per casi · Risolvere disequazioni